Concepto de Análisis Numérico

El análisis o cálculo numérico, es una rama de la matemática que estudia los métodos aritméticos que se pueden aplicar en la resolución de problemas, son técnicas que permiten el logro de soluciones aproximadas (en ocasiones exactas) de un problema determinado, a través de la ejecución de una cantidad finita de operaciones lógicas y algebraicas básicas. La evolución del análisis numérico como una disciplina, ha estado estrechamente vinculada al acelerado desarrollo que los ordenadores han experimentado desde su creación.

Análisis numérico

Clasificación del Análisis Numérico


Según su naturaleza numérica o finito-dimensional y por su naturaleza funcional o infinito-dimensional. Perteneciendo al primer grupo, los problemas referentes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, análisis de valores y vectores, a la resolución de ecuaciones y sistema de ecuaciones no lineales. Del segundo grupo son los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación y combinación numérica, los problemas de valor inicial, así mismo los de contorno para ecuaciones en derivadas parciales.

Los ordenadores, son las herramientas necesarias para aplicar con eficiencia la mayoría de los métodos que suele proponer el análisis numérico, motivado al considerable número de cálculos y procesamiento de información que suelen llevar aparejados. Los diferentes problemas que trata el análisis numérico son en concreto, una serie de procesos de aproximación que consisten en sucesiones de cálculos. Estos procedimientos se conocen como algoritmos.

El análisis numérico por lo general, está conformado por un cantidad de etapas finitas que se desarrollan de manera lógica, las cuales mejoran las afinidades iniciales de ciertos valores, tal como la raíces de una ecuación, que se ejecutan con cierto margen de error, es por lo tanto un proceso cíclico de mejora del valor que se le denomina iteración. Este tipo de análisis matemático, es una opción muy eficaz en la resolución de ecuaciones tanto algebraicas (polinomios) como trascendentes. La repetición de algunos procedimientos lógicos, en este caso las iteraciones, son procedimientos que permiten mejorar los valores inicialmente establecidos como solución, debido a que se trata siempre de la misma operación lógica, en la que resulta muy oportuno el uso de herramientas de cómputo para realizar esta tarea.

En la mayoría de los casos, estos métodos se utilizan cuando se requiere de un valor numérico para resolver un problema matemático y de procedimientos precisos o analíticos como la resolución de variables e incógnitas, la teoría de ecuaciones diferenciales, los álculos de integrales, etc., ya que son incapaces de dar una respuesta exacta. Por tal motivo, son métodos utilizados frecuentemente por físicos e ingenieros, cuya aplicación se ha visto favorecida por la necesidad de obtener soluciones más precisas, aunque tal precisión no sea muy exacta. Es importante recordar que, la física experimental por ejemplo, no arroja valores exactos sino intervalos aproximados que comprenden casi la totalidad de los resultados experimentales obtenidos, porque no es común que dos magnitudes de un mismo fenómeno arrojen valores idénticos.

Los problemas que normalmente trata de resolver esta disciplina son divididos en dos grandes grupos:

  • Problemas de dimensión finita: son aquellos cuya resolución, son un conjunto finito de números como por ejemplo las ecuaciones algebraicas, los determinantes de una matriz, los problemas de valores propios, etc.

  • Problemas de dimensión infinita: son aquellos problemas en los que cada uno de sus planteamientos o soluciones, intervienen elementos expresados mediante una cantidad infinita de números, como la integración y derivación numéricas, análisis de ecuaciones diferenciales, las interpolaciones, etc.

De igual manera, existe dentro del análisis numérico una subdivisión organizada en tres categorías de problemas, de acuerdo a su naturaleza:

  • Problemas que no poseen solución analítica por su gran complejidad.
  • Problemas en los que sí existe una posible solución analítica, pero la misma por su complejidad u otras razones, no puede ser desarrollada de forma sencilla en la práctica.
  • Problemas para los cuales existan operaciones sencillas pero que, al ser llevadas a la práctica, ameritan de una cantidad de análisis excesivos, mayor que los requeridos en cualquier método numérico.

La mayoría de los análisis numéricos empleados en ingeniería utilizan variables continuas, al momento de trasladar estas operaciones al computador para facilitar su resolución, se descubre que en un computador no se pueden realizar cálculos de variables continuas de forma eficaz, porque el mismo funciona con una representación de información discreta. Entonces, por medio de distintos análisis numéricos, se ajustan métodos matemáticos en variable continua conforme a la estructura de representación de la información discreta.