Tipos de Geometría Diferencial:
- Geometría diferencial de curvas: esta geometría permite los procedimientos y definiciones para estudiar las curvas simples en variedades de la geometría de Riemann, fundamentalmente en el espacio euclídeo.
- Geometría diferencial de superficies: expone las técnicas y definiciones para estudiar la geometría variedades diferenciales o de superficies de dos dimensiones introducidas en variedades de Riemann, principalmente en el espacio euclídeo.
- Geometría diferencial de variedades: una variedad es un elemento geométrico modelo en matemática, se hallan diferentes variantes usadas según el dominio específico tomando en cuenta:
- Variedades diferenciables: usadas por la teoría de los grupos de Lie, por el cálculo diferencial referente a las zonas topológicas.
- Variedades algebraicas: son proyectos que comprueban propiedades específicas.
- Variedades aritméticas: son temas determinados de variedades algebraicas, tienen más técnicas para aplicarlas con dirección a la teoría de números.
Teoría Local de Curvas
- Una curva parametrizada diferenciable es una aplicación diferenciable α : (a, b) → R3.
- Una curva parametrizada diferenciable α : (a, b) → R3 se nombra regular si α 0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I.
- Dado t ∈ (a, b), la longitud de arco de una curva parametrizada regular α : (a, b) → R3 , desde el punto t0, es decir: s(t) = Z t⌠t0 kα 0 (t)kdt.
- Una curva parametrizada α: (a, b) → R3 es denominada arco-parametrizada o de velocidad uno si α 0 (t) es un vector unitario para todo t ∈ (a, b), esto es, kα 0 (t)k = 1.
- Sea α :(a, b) → R3 una curva parametrizada por distancia de arco s ∈ I. El número ´ kα 00(s)k = κ(s) se llama la curvatura de α en s.
En puntos donde κ(s) 6= 0, está bien específico un vector unitario n(s) en la dirección α 00(s) por medio la ecuación α 00(s) = κ(s)n(s). Más aún, α” 00(s) es normal a α 0 (s), es diferenciando hα 0 (s), α 0 (s)i = 1 se obtiene hα 00(s), α 0 (s)i = 0.
Así, n(s) es normal a α 0 (s) y se nombra el vector normal en s. El plano establecido por los vectores unitarios contiguo y normal, α 0 (s) y n(s), se designa el plano osculador en s. Se indica por t(s) = α 0 (s) al vector unitario contiguo de α en s. Entonces, t 0 (s) = κ(s)n(s). El vector unitario b(s) = t(s) × n(s) es normal al plano osculador y se denomina el vector binormal en s.
Sea α: (a, b) → R3 una curva parametrizada por la distancia de arco s tal que α 00(s) 6= 0, s ∈ (a, b). El número τ(s) determinado por b 0 (s) = τ (s)n(s) se designa la torsión de α en s.
Teorema: Sea α una curva arco-parametrizada con curvatura nunca nula. Por lo tanto:
t”= κn
n”= −κt +τ b
b” = −τn (1.1)
Las ecuaciones en (1.1) son denominadas las ecuaciones de Frenet-Serret..