Concepto de Álgebra Lineal

Es un instrumento de gran aplicación en casi todas las ramas de la matemática moderna, también muy utilizado en disciplinas como la física, computación e ingeniería entre otras; orienta su estudio y enseñanza sobre las bases teóricas y prácticas de: vectores, álgebra de matrices, cálculo de raíces, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y sus respectivas transformaciones.

Álgebra Lineal

Utiliza símbolos y letras en vez de números para representar sus procedimientos u operaciones aritméticas, asimismo para indicar la forma en que deben ser utilizados esos símbolos y letras.

El procedimiento algebraico lineal, comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVIII y logró afianzarse en la década de los 40 del pasado siglo XIX con Grassmann, quien adelantó aspectos importantes sobre los espacios de dimensión finita, como por ejemplo: la noción de subespacio, engendrado, independencia lineal y la proyección de un vector sobre un subespacio. Desde entonces, los métodos teóricos y prácticos del álgebra lineal se imparten en las áreas del conocimiento con total regularidad.

Fueron los egipcios y babilonios los primeros en resolver ecuaciones lineales:
(ax = b) y cuadráticas de la forma: (a+ bx = c), asimismo inecuaciones indeterminadas como: + = , con varias incógnitas. Resaltando en esta parte, que los babilonios utilizaban prácticamente los mismos métodos que hoy se enseñan para resolver ecuaciones cuadráticas. Los orígenes de algunos de los conceptos que maneja el álgebra lineal son de tiempos antiquísimos, en tal sentido se menciona a la noción de “Ley de Composición”, como una de las más primitivas de las matemáticas.

Características Principales del Álgebra Lineal


Se caracteriza principalmente por el estudio de estructuras matemáticas, en las que se pueden realizar sumas entre distintos elementos de un mismo conjunto y multiplicar tales elementos por números reales o complejos, que es lo que se conoce como “Espacios Vectoriales”, sus elementos son los llamados vectores y conjunto de escalares:

  • operación interna: “A + B”. K es el elemento conmutativo, operación externa: K × A, K × B
    Se relaciona sin dificultad con ramas que también forman parte de la matemática y con otras que son ajenas a ella.
  • Vectores: trazado de uno o varios segmentos de recta que sugieren una dirección definida proyectada en un determinado espacio, también son definidos como líneas que tienen magnitud, dirección y sentido concretos. Se representan gráficamente como segmentos rectilíneos y están compuestos por los siguientes elementos: dirección, orientación, origen o punto de aplicación y la longitud o módulo. E sistema de referencia de los vectores está determinado por el origen: AB B
  • A • Origen
    Matriz: se denomina matriz al conjunto de números o elementos dispuestos en filas y columnas, organizadas en forma rectangular. Un elemento se distingue de otro de acuerdo a la fila y columna a la cual pertenece.
    Para convertirla en la matriz representativa de algún objeto matemático, se eliminan las celdas que contienen los valores numéricos y se encierran entre dos paréntesis grandes:
    4 1 9 2 0
    3 0 1 2 8
    2 5 4 6 3
  • Raíz: cantidad que se multiplica por sí misma, tantas veces como se indique para obtener otra cantidad o número como resultado. Se representa con el siguiente símbolo: consiste en encontrar la base de la potencia, conociendo el exponente o índice de la raíz y la cantidad sub radical. Para encontrar o extraer la raíz, se realiza una operación que es inversa a la potenciación, así como la resta es la operación inversa de la suma:
    Potencia
    Raíz
    = a
    = x
  • Determinante: es una expresión que se obtiene mediante la aplicación, de los elementos que conforman a una matriz cuadrada respetando ciertas reglas. Da una forma en la que se alternan varias líneas a la vez. Su notación se representa utilizando dos líneas verticales, que puede contener números u otros elementos: =
    Sistemas de ecuaciones lineales o sistema lineal de ecuaciones: son aquellos en los que todas sus ecuaciones son de primer grado y su representación gráfica es una línea recta. Puede no tener solución, tener una o infinitas soluciones. Para que un sistema lineal sea tal cosa, se necesitan por lo menos dos ecuaciones lineales:
    ax + by = c
    dx + ey = f