Concepto de Factorización

La factorización puede considerarse como la operación matemática inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Factorización

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo que mientras que la segunda factorización, de modo que, en cualquier caso la factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como.
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

Otro

Factorizar un Monomio




Para factorizar un monomio solo debes de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el monomio inicial.

Factorizar con Números Primos




¿Por qué del "15" sacamos 3.5 (o 3x5 que es lo mismo)? Porque si lo multiplicamos, su resultado es 15. Pero, ¿Cómo buscamos estos números? fácil, lo más común es utilizar el método de la tablita o parrilla, este método es muy sencillo, y normalmente se enseña en escuelas básicas. Consiste en hacer una cruz y colocar el número que se desea descomponer a la izquierda y a la derecha ir colocando sus divisores más pequeños.

otra version es:

Factorizar los siguientes números:
a
15= 3x 5
a
27=3 x 9
a
99 = 9 x 11
a
6 = 3 x 2
a

Y así En álgebra se emplearán técnicas que nos ayudan a factorizar expresiones. Como por ejemplo, diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo:


X² - Y² = (X -Y )(X + Y)

Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos:

4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)

25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)

c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)

De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:

9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)

121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)

64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)


Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo:


5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2)

9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5)

11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8)

125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta

Factorizaciòn de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Por adición o substracción.

Veamos un ejemplo Factorizar a4+ a² +1 (Perdon ese 4 es exponente lo exprese así por que no hay exponente 4 en mi editor) Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer término de lo que quedaría (a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a². Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión. Entonces :


a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a²
=(a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta

De manera semejante se resuelven estos ejercicios Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 = Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino:

( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8. "Faltan -25m2n4"

( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta

Factorizar: a4- 16 a² b²+36 b4 = ( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y² ( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta Factorizar x4+ 2x² y²+y4 Realizando operaciònes ( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y² ( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy )
Factorizar un polinomio:

Antes que nada hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales:

  • binomio
  • Diferencia de Cuadrados
  • Suma o Diferencia de Cubos
  • Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
  • Trinomios
  • Trinomio Cuadrado Perfecto
  • Polinomios
  • Factor Común

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio otrinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio. Factor común por agrupación de terminos

ab + ac + ad = a(b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

Factor común polinomio:


c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)(c + d + e)

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc
= (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto


Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un parentesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el parentesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo:

(5x − 3y)2=25x2 − 30xy + 9y2
(3x + 2y)2=9x2 + 12xy + 4y2
(x + y)2=x2 + 2xy + y2
4x2 + 25y2 − 20xy

organizando los términos tenemos:

4x2 − 20xy + 25y2

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

(2x − 5y)2

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:

(9y2) − (4x2) = (3y-2x)(3y+2x)

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
Ejemplo:

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
a2 + 2a − 15 = (a + 5)(a − 3)