Concepto de Teoría de la Medida

La teoría de la medida es una especialidad del análisis real que analiza las medidas, las σ-álgebras, las funciones integrales y medibles, aplicándose esta teoría en la estadística y en probabilidad. En la ciencia de la matematica, la medida es una función que establece un número real cero o positivo, ejecutable como un área, volumen, intervalo o una probabilidad.

Teoría de la Medida

El término de medida remota de más de 5000 años, originado del manejo de longitudes, volúmenes y áreas principalmente de realizar su cálculo. Donde están plasmados los problemas matemáticos egipcios en el Papiro de Moscú del 1800 a.C. se encuentran problemas como cálculo del volumen de un tronco de pirámide o del área de una superficie curva. Las soluciones escritas en el papiro se utilizan aparentemente de la aproximación de π, 4(1 − 1/9)2 = 3, 160.

Pero en el libro de Euclides 300 a.C. se hallan las primeras manifestaciones sobre los teoremas referentes a áreas y volúmenes. Euclides considera características que puede medir en las figuras, tales como:

  • Línea: es una longitud que no posee anchura.
  • Superficie: es lo que tiene longitud y anchura.
  • Sólido: es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.

Euclides no define qué es medir, es un término que se usa no solo cuando se trata de estas tres magnitudes geométricas, sino además en el perímetro de la aritmética. Por ejemplo, en el libro VII las descripciones tres y cuatro dicen:

  • Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.
  • Pero partes cuando no lo mide. Por ejemplo, el número 3 es segmento de 15 y 6 es segmento de 15.

Anillos, álgebras y ´ σ–álgebras

Una de las acciones por la que se caracteriza la ciencia de la matemática es la observación de magnitudes, es decir, de los elementos físicos dispuestos a ser medibles, y su medición.


Se denomina anillo en Ω, a una colección no vacía A ⊂ P (Ω), para la que:

A, B ∈ A ⇒ A ∪ B, A\B ∈ A, lo cual involucra que A ∩ B ∈ A.

Observemos que ∅ = A\A ∈ A, pero Ω no está obligatoriamente en A.

Se denomina álgebra a un anillo A para el que Ω ∈ A y por tanto cerrada por paso al complementario y por uniones o intersecciones finitas.

Se nombra σ– álgebra a un álgebra A cerrada para uniones numerables, es decir que con las siguientes propiedades:

  • Ω ∈ A.
  • Si A ∈ A entonces Ac ∈ A.
  • Si A1, . . . , An, . . . ∈ A, entonces ∪∞n=1An ∈ A.

Se sigue de forma inmediata que un álgebra y un anillo son cerrados para intersecciones finitas y una σ–álgebra para intersecciones numerables. Por ejemplo:

  • P (Ω) es la mayor σ–álgebra de Ω.
  • {∅, Ω} es la menor σ–álgebra de Ω.
  • Sea Ω con infinitos componentes (numerable o no) y se considera colección A de todos los subconjuntos A ⊂ Ω, tales que A ó Ac sea numerable. Por lo tanto, A es σ–álgebra de Ω.
  • Sea Ω con infinitos componentes y se considera la colección A de todos los subconjuntos A de Ω, tales que A ó Ac sea finito. Por lo tanto, A es álgebra pero no σ–álgebra de Ω.
  • Sea Ω = R y A la colección de todas las uniones finitas y disjuntas de los semiintervalos1 limitados (a, b], con −∞ < a ≤ b < ∞. Por lo tanto, A es anillo pero no álgebra ni σ–álgebra.

  • Sea Ω = R y A la colección de todas las uniones finitas y disjuntas de intervalos del tipo (a, b] ó (a, ∞), con −∞ ≤ a ≤ b < ∞. Por lo tanto, A es álgebra pero no σ–álgebra.


Se denomina espacio medible al par (Ω, A), donde Ω es un conjunto y A es una σ–álgebra de Ω y grupos medibles a los componentes de A.