Concepto de Cálculo Vectorial

Es una notación científica exacta, que se utiliza para representar ecuaciones matemáticas, las cuales sirven de base para interpretar diferentes situaciones físicas, se construye a partir de cantidades direccionadas llamadas vectores que pueden tomar un rango constante de valores específicos, lo cual hace necesario los métodos de cálculo. Es un método matemático que se concentra en el análisis de vectores en dos o más dimensiones y un conjunto de fórmulas que se utilizan en la resolución de problemas de ingeniería y física.

Cálculo Vectorial

Es importante saber, que una magnitud física es vectorial cuando al momento de desarrollar una operación, se necesita además de un módulo, un número, una dirección y un sentido exacto que la denomine como tal. El cálculo vectorial se fundamenta en cuatro operaciones básicas:

  • Gradiente: calcula el índice y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
  • Rotor o rotacional: calcula la inclinación de la distribución espacial de una magnitud vectorial, al girar en torno a un punto. El rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
  • Divergencia: mide la inclinación de la distribución espacial de una magnitud vectorial que se origina o coincide en ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
  • Laplaciano: relaciona "la media" de una magnitud vectorial en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

El cálculo vectorial es muy utilizado para resolver sistemas de ecuaciones e incluso cualquier problema complejo de ingeniería puede ser convertido en un sistema de ecuaciones, que a la vez puede resolverse mediante cálculos matriciales, los cuales se relacionan con el cálculo vectorial. Especialmente dentro de la ingeniería mecánica, se puede notar que el cálculo vectorial es muy utilizado en problemas de dinámica y cinemática de mecanismos, es decir para estudiar los movimientos, velocidades y aceleraciones de los elementos que conforman los distintos tipos de mecanismos.

La física y la ingeniería, así como cualquier especialidad científica en general, que se encargue de estudiar las características o propiedades de los cuerpos que pueden ser medidas, se ocupa específicamente de analizar las magnitudes físicas (elementos del cálculo vectorial) de los materiales o cuerpos.

Existen dos tipos de magnitudes físicas:

  • Magnitudes escalares: son aquellas en las que su valor se puede definir, con sólo indicar un número y la longitud o módulo correspondiente. Entre ellas se mencionan las siguientes: masa, tiempo, volumen, temperatura, densidad, etc.
  • Magnitudes vectoriales: para determinar su valor no basta con indicar un número y una longitud (módulo), habrá que establecer la dirección en que se dirige y el sentido. Un ejemplo de magnitud vectorial es: la velocidad, fuerza y aceleración.

Los vectores: son segmentos orientados en un espacio determinado y se caracterizan por cuatro elementos que se diferencian entre sí que son: punto de aplicación u origen, dirección o línea de acción (recta que contiene el vector), sentido del vector y módulo del vector (longitud). Se clasifican en: vectores libres, vectores deslizantes, vectores fijos, vectores axiales, vectores equipolentes y vectores opuestos.


Operaciones con Vectores


  • La suma que resulta de dos vectores A1 y A2, es el vector que se determina al unir el origen de A1 con el extremo de A2, cuando el mismo se adapta en el extremo del primero. En la suma de vectores a ésta operación se le conoce como “regla del paralelogramo”.
  • La diferencia entre dos vectores se representa como el vector que resulta de sumar el primero con el contrario del segundo.
  • El producto de un número real R multiplicado por un vector A, es otro vector RA, que posee la misma dirección que A, el mismo sentido que A o el opuesto, conforme R sea positivo o negativo y una longitud (módulo) que resulta de multiplicar a R por la longitud (módulo) de A. Cualquier vector se puede representar como el producto que resulta de multiplicar su módulo por un vector único, que debe tener la misma dirección y sentido.

Producto Escalar de Dos Vectores


El resultado de multiplicar el escalar de dos vectores B1 y B2 es el producto que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que esos segmentos de recta conforman. Tal que: el producto escalar de dos vectores es un escalar y no un segmento de recta (vector). El resultado de multiplicar el escalar de dos vectores B1 y B2 es igual al producto que se obtiene de multiplicar el escalar de uno de ellos por el segmento de recta que representa la gráfica del ángulo recto del otro sobre él.

El módulo de la gráfica que representa el ángulo de 90º (recto) de B1 sobre B2 es igual al producto que resulta de multiplicar el escalar B1 por B2, dividido por el módulo de B2, cuando la proyección B1 y B2 tienen el mismo sentido. Si B1 y B2 son diferentes de cero y B1B2 es igual a cero, entonces los segmentos de recta B1 y B2 son perpendiculares.

Producto Vectorial de Dos Vectores


  • La multiplicación vectorial de B1 y B2 se denota de la siguiente manera: B1xB2 y posee las siguientes características: La longitud o módulo del producto vectorial, es igual a multiplicar los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman. La dirección de B1xB2 es la de la recta perpendicular a los vectores B1 y B2. Donde el producto vectorial no es conmutativo.
  • El producto vectorial se aplica en los siguientes momentos: momento de un vector respecto a un punto, de un par de vectores respecto a un punto y momento de un vector con respecto a un eje.